Une IA a prouvé l'hypothèse quasi-Riemann : et maintenant ?

Les 377 résultats annoncés par OpenAI le 6 octobre 2026 comprennent une preuve de l'hypothèse quasi-Riemann, version affaiblie de l'hypothèse de Riemann, la question ouverte sans doute la plus célèbre des mathématiques. Ce qui distingue ce résultat des autres preuves produites par IA ces derniers mois, c'est qu'il a été examiné et déchiffré par des experts humains. Jared Duker Lichtman, de Stanford, le juge « la plus significative réalisation de l'IA pour les mathématiques à ce jour, et de loin ».

L'hypothèse de Riemann, formulée en 1859, porte sur les zéros non triviaux de la fonction zêta, définie à partir de la somme des inverses des puissances d'entiers. Elle affirme que ces zéros se situent tous sur la droite d'abscisse 1/2 dans le plan complexe. Ses conséquences dépassent largement la fonction elle-même : elle conditionne la régularité de la répartition des nombres premiers. Elle figure parmi les sept problèmes du prix du millénaire fixé par le Clay Mathematics Institute, et plus d'un siècle et demi après sa formulation, elle reste ouverte. Les calculs numériques ont vérifié que les douze premiers milliers de milliards de zéros non triviaux se trouvent bien sur cette droite, mais cela ne constitue pas une démonstration.

La version quasi-Riemann ne demande pas de localiser les zéros sur une droite, mais de les contenir dans une bande verticale plus étroite que la bande connue entre 0 et 1. OpenAI a publié deux versions de sa démonstration. La première, datée du 30 septembre 2026, établit une bande entre 1/8 et 7/8 et a été vérifiée formellement dans le langage Lean ; elle compte 199 pages. La seconde, achevée près d'une semaine plus tard et non encore vérifiée formellement, établit une bande entre 1/12 et 11/12, sur 49 pages. C'est elle qui retient aujourd'hui l'attention des mathématiciens, notamment parce qu'elle est la seule des 722 documents publiés le 6 octobre à avoir été éditée par une personne. OpenAI n'a pas précisé qui, ni pourquoi ce document a bénéficié d'une relecture humaine.

Sur le fond, la démonstration repose sur une idée d'un genre particulier. Les travaux de Michael Rubinstein, de l'université de Waterloo, rappellent que Peter Sarnak défend depuis des décennies l'idée d'étudier la fonction zêta comme membre d'une famille plus large de fonctions. Le modèle d'OpenAI a identifié une famille pertinente, que Henryk Iwaniec, de Rutgers, avait frôlée en 2002 sans la retenir. Elle fait intervenir des objets peu étudiés, les formes métaplectiques, que Alexander Dunn étudie depuis cinq ans, ainsi qu'une formule démontrée en 2021 par Dunn et Maksym Radziwiłł, de la New York University, et qui s'avère un ingrédient essentiel. Alexander Dunn, du Georgia Institute of Technology, souligne que la preuve est « une synthèse surprenante d'idées bien connues », sans introduire de concept nouveau.

Les implications, selon Radziwiłł, sont « stupéfiantes » : une grande partie des conséquences de l'hypothèse de Riemann découlent déjà de la version quasi-Riemann, et de nombreux résultats en théorie des nombres, en géométrie et en informatique théorique deviendraient des théorèmes démontrés. Toutefois, la plupart des spécialistes doutent que cette combinaison de techniques permette de passer de la borne 7/8 à la droite 1/2. Will Sawin, de Princeton, estime que l'hypothèse complète reste probablement hors d'atteinte. Thomas Bloom, de l'université de Manchester, rappelle pourtant que l'on disait la même chose de la version quasi-Riemann il y a quelques semaines.

Plusieurs questions restent ouvertes. La démonstration doit encore être entièrement vérifiée par des humains, et les rédactions détaillées de plusieurs mathématiciens, de sept à treize pages, n'étaient pas encore publiées à la date de rédaction. La version de 199 pages n'a pas été relue, et son statut reste à clarifier. Enfin, la question de savoir quelle part revient au modèle, et quelle part à l'intervention humaine, demeure sans réponse précise de la part d'OpenAI.